|
|
 |
Условие
Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений ax11 + bx4 + c = 0, bx11 + cx4 + a = 0, cx11 + ax4 + b = 0 имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.
Решение 1
Заметим, что все корни наших уравнений – ненулевые, поскольку свободные члены не равны нулю.
Пусть p – общий корень первых двух уравнений. Тогда
a/b = b/c = c/a, а поскольку произведение этих чисел равно 1, то и все они равны 1, то есть a = b = c. В этом случае утверждение задачи очевидно.
В противном случае все три числа A, B, C ненулевые. Тогда p4 = A/B, p11 = C/B.
Обозначим через q общий корень второго и третьего, а через r общий корень третьего и первого уравнений. Аналогично получим q4 = B/C, откуда p11q4 = 1. Таким же образом получаем равенства q11r4 = 1, r11p4 = 1. Отсюда p11³ = q–4·11² = r4²·11 = p–4³, следовательно, p = 1. Аналогично
q = r = 1. Итак, 1 является общим корнем всех трёх уравнений.
Замечание.Решение можно завершить по-другому. Пусть |B| – среднее по величине из чисел |A|, |B|, |C|. Тогда одно из чисел |p|4 = |A|/|B| и
|p|11 = |C|/|B| не больше единицы, а другое – не меньше единицы. Значит, оба они равны единице, то есть |p| = 1. Следовательно, |A| = |B| = |C| и
|q| = |r| = |p| = 1. Поэтому два из чисел p, q, r равны, скажем, p = q. Но тогда это число является общим корнем всех трёх уравнений.
Решение 2
Достаточно доказать, что одно из данных уравнений имеет ровно один корень; тогда он будет общим у этого уравнения с каждым из остальных. Рассмотрим среди данных уравнений то, в котором коэффициенты при x4 и свободный член имеют одинаковый знак; пусть для определенности
b > 0, c > 0 (случай b < 0, c < 0 сводится к этому домножением уравнения на –1). Запишем уравнение в виде ax7 + b + cx–4 = 0. На положительной полуоси функция f(x) = ax7 + b + cx–4 положительна, а на отрицательной полуоси она строго возрастает. Следовательно она имеет не более одного корня.
Замечание. Единственность корня можно показать и с помощью производной.
