ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116563
Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 2+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?


Решение

Предположим противное. Тогда число   A = cos α + cos 5α   иррационально как сумма рационального и иррационального. С другой стороны,
A = 2 cos 2α cos 3α   рационально как произведение трёх рациональных чисел. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Замечания

   Если убрать из условия cos 5α, то ответ будет другим. Например, при  α = π/6  число cos α иррационально, а числа cos 2α, cos 3α, cos 4α рациональны.
   С другой стороны, из решения видно, что cos 4α можно удалить из условия безболезненно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .