Задача 116573

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Каково максимальное число попарно непараллельных отрезков с концами в вершинах правильного n-угольника?

Решение

Пусть A₁...A_n – данный n-угольник. Положим  A_n+k = A_n  для любого k. Заметим, что отрезок A_iA_j параллелен отрезку A_i–kA_j+k
(между этими отрезками заключены равные дуги). Отсюда следует, что в нечётноугольнике каждая диагональ параллельна одной из сторон,
а в чётноугольнике каждая диагональ параллельна либо одной из сторон, либо одной из "малых" диагоналей (соединяющих вершины через одну). В каждом из этих случаев получается ровно n различных классов параллельности.

Ответ

n отрезков.

Источники и прецеденты использования

Фольклор