ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116580
Темы:    [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая l1, касающаяся ω2. Аналогично прямая l2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые l1 и l2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных l1 и l2.


Решение

  Пусть O1, r1 и O2, r2 – соответственно центры и радиусы окружностей ω1 и ω2, а K – точка пересечения l1 и l2.
  Обозначим через P1 точку касания l2 и ω1, а через P2 точку касания l1 и ω2. Прямоугольные треугольники KO1P1 и KO2P2 подобные по острому углу. Значит,  KO1 : RO2 = O1P1 : O2P2 = r1 : r2.  Таким образом, в треугольнике KO1O2 точка P, лежащая на стороне O1O2, делит её в отношении, равном отношению прилежащих сторон KO1 и KO2. Из этого следует, что KP – биссектриса треугольника KO1O2.

Замечания

Возможны два принципиально различных случая расположения точек и прямых (см. рис.). Приведённое решение не зависит от случаев.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .