ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116582
Темы:    [ Доказательство от противного ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Целые числа a и b таковы, что при любых натуральных m и n число  am² + bn²  является точным квадратом. Докажите, что  ab = 0.


Решение

  Предположим противное. Ясно, что тогда числа a и b натуральные. Действительно, если, скажем,  a < 0,  то число  (2|b|)²a + b = b(4ab + 1)  – квадрат. Но числа b и  4ab + 1  имеют разные знаки. Противоречие.
  По условию  4ab² + b = x²  и  4ab² + 4b = y²  при некоторых натуральных x, y. При этом,  y² > x² > 4b²,  поэтому  y > x > 2b.  Но тогда
3b = y² – x² = (y – x)(y + x) ≥ 1·4b,  что невозможно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .