Задача 116596

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Через вершины основания четырёхугольной пирамиды SABCD проведены прямые, параллельные противоположным боковым рёбрам (через вершину A – параллельно SC, и так далее). Эти четыре прямые пересеклись в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Решение

Пусть P – точка пересечения данных прямых. Поскольку  PA || SC  и  PC || SA,  четырёхугольник ASCP – параллелограмм. Значит, прямая SP делит отрезок AC пополам. Аналогично, прямая SP делит отрезок BD пополам. Следовательно, прямая SP пересекает плоскость основания пирамиды в точке пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, и диагонали делятся этой точкой пополам. Поэтому ABCD – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	4
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.2