ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116597
Темы:    [ Векторы (прочее) ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов  a1, a2, ..., an  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –a1 + a2 + ... + an,
a1a2 + a3 + ... + ana1 + a2 + ... + an–1an   также имеют равные длины. Докажите, что  a1 + a2 + ... + an = 0.


Решение

  Отложим векторы  2a1, ..., 2an  из одной точки: пусть     Тогда все точки  A1, ..., An  различны и лежат на окружности ω с центром O. Пусть  s = a1 + ... + an.  По условию, все векторы  s – 2ai  имеют одну и ту же длину r. Рассмотрим такую точку S, что     Поскольку     все точки  A1, ..., An  лежат на окружности Ω с центром S и радиусом r.
  Итак, окружности ω и Ω имеют  n > 2  общих точек. Это значит, что они совпадают, а тогда и их центры совпадают, то есть  s = 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .