ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116600
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  mn?


Решение

Всего в турнире с участием 73 команд проводится  73·72 : 2  игр. Пусть x команд одержали по n побед, а остальные  73 – x  команд – по m побед. Тогда
xn + (73 – x)m = 36·73,  откуда  x(nm)  кратно 73. Число 73 – простое, поэтому на него делится либо x, либо  n – m.  Первое невозможно, так как
x < 73.  А второе возможно только при  m = n  (так как и m и n меньше 73).


Ответ

Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .