Задача 116601
|
|
 |
Условие
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
Решение
Пусть для определённости a > b. Если (x0, y0) – одна из точек пересечения, то sin ax0 = sin bx0. Значит, ax0 – bx0 = 2kπ или (a + b)x0 = (2k + 1)π при некотором целом k, то есть одно из чисел (a – b)x0 или (a + b)x0 "кратно" π. Следовательно, (a² – b²)x0 "кратно" π.
Положим c = 2(a² – b²) + a. Тогда число cx0 – ax0 = 2(a² – b²)x0 кратно 2π. Значит, sin cx0 = sin ax0 = y0, что и требуется. Кроме того, c > a > b.
