ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116639
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Предел функции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + a9x + b9. Известно, что последовательности  a1, a2, ..., a9  и  b1, b2, ..., b9  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?


Решение

  Обозначим  Pi(x) = x² + aix + bi,  P(x) = P1(x) + ... + P9(x).  Заметим, что  Pi(x) + P10–i(x) = 2P5(x).  Значит,  P(x) = 9P5(x),  и условие равносильно тому, что P5(x) имеет хотя бы один корень.
  Пусть x0 – какой-нибудь из его корней. Тогда  Pi(x0) + P10–i(x0) = 2P5(x0),  то есть либо  Pi(x0) ≤ 0,  либо  P10–i(x0) ≤ 0.  Из этого следует, что в каждой из пар  (P1, P9),  (P2P8),  (P3, P7),  (P4, P6)  хотя бы один из трёхчленов имеет корень. Значит, есть не меньше пяти трёхчленов, имеющих корни, то есть трёхчленов без корней – не более четырёх.
  Пример, когда ровно пять трёхчленов имеют хотя бы по одному корню:  x² – 4,  x² – 3,  x² – 2,  ...,  x² + 4.


Ответ

4 трёхчлена.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .