|
|
 |
Условие
Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений F(x) = 0, G(x) = 0, F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).
Решение
У многочленов F(x) и G(x) не более чем по три корня, а у многочлена F(x) – G(x) (степени ≤ 2) не больше двух корней. Поскольку у них в совокупности 8 корней, то у F(x) и G(x) ровно по три корня, а у F(x) – G(x) ровно два, причём все они имеют кратность 1.
Предположим, что a и b – минимальное и максимальное из выписанных чисел, и F(a) = F(b) = 0. Поскольку все корни G(x) лежат на интервале
(a, b), G(a) < 0, G(b) > 0. С другой стороны, квадратный трёхчлен F(x) – G(x) имеет два корня на этом интервале, поэтому числа
F(a) – G(a) = – G(a) и F(b) – G(b) = – G(b) имеют одинаковый знак. Противоречие.
