|
|
 |
Условие
Назовём натуральные числа a и b друзьями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если a – друг b, то a – друг НОД(a, b).
Решение 1
Пусть d = НОД(a, b). Тогда a = md, b = nd, где m и n – взаимно простые натуральные числа. Из условия следует, что число ab = mnd² – точный квадрат, значит, и mn – точный квадрат. Следовательно, каждое из чисел m и n – точный квадрат: m = k².
Отсюда a·НОД(a, b) = md² = (kd)², то есть a – друг НОД(a, b).
Решение 2
Число является точным квадратом, если в его разложение на простые множители каждый из них входит с чётным показателем степени.
Разложим числа a и b на простые множители. Так как a и b – друзья, то каждое простое число входит в эти разложения с показателями степеней одинаковой чётности.
Так как в разложение НОД(a, b) каждый простой множитель входит с наименьшим показателем из этих двух, то в разложения чисел a и НОД(a, b) каждое простое число также входит с показателями степеней одинаковой чётности. Это и означает, что a и НОД(a, b) – друзья.
