ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116670
Темы:    [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.


Решение 1

  Отметим на стороне AC точку T так, что  AT = AY,  тогда  TC = CZ  (рис. слева). Оба треугольника ATY и CTZ – равносторонние. Следовательно,  ∠YTZ = 60°,  то есть TY – биссектриса треугольника XTZ. Но по условию TY – медиана, поэтому треугольник XTZ – равнобедренный, а TY – его высота. Значит,  ∠TZY = 30°,  а  ∠CZX = 60° + 30° = 90°.


Решение 2

  Через точку Z проведём прямую, параллельную стороне AC, которая пересечет сторону AB в точке M (рис. в центре). Ясно, что треугольник BZM – равносторонний. Значит,  MZ = BM = BZ = AY.
  Кроме того,  ∠YZM = ∠YXA,  поэтому треугольники MYZ и AYX равны (по стороне и двум прилежащим углам). Следовательно,  AX = MZ = AY = MY.
  Итак, медиана ZM треугольника BZY равна половине его стороны BY, поэтому этот треугольник прямоугольный.


Решение 3

  Отметим на стороне AC точку P так, что  CP = AY = BZ (рис. справа).
  Тогда  CZ = AP = BY.  Треугольники CZP, APY и BYZ равны (по двум сторонам и углу между ними), значит, треугольник ZPY – равносторонний. В треугольнике XPZ медиана PY равна половине стороны XZ, поэтому  ∠XPZ = 90°,  а  ∠CXZ = ∠PXZ = 30°.  Следовательно,
CZX = 180° – ∠CXZ – ∠C = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-03-9
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .