|
|
 |
Условие
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
Решение
Есть несколько конфигураций точек, для которых Саша не сможет добиться своего. Приведём два примера.
Конструкция 1. Поместим на окружности три маленькие дуги, полученные друг из друга поворотами на 120°, отметим по 33 точки на каждой дуге и ещё центр окружности (рис. слева). Отрезок из центра соединён с точкой на некоторой дуге. Он не пересечётся с отрезками, чьи концы лежат на других дугах. А такие отрезки есть, так как на двух дугах точек больше, чем на одной и в центре.
Конструкция 2. Возьмём квадрат ABCD и расположим 99 точек Q1, ..., Q99 на дуге BD окружности с центром A и радиусом, равным стороне квадрата. В качестве 100-й точки возьмём точку C (рис. справа). С какой бы точкой Qn Саша ни соединил отрезком точку С, из оставшихся 49 отрезков QiQj отрезок CQn не будет пересекать вообще ни один: все отрезки QiQj лежат внутри круга с центром A и радиусом AB, а отрезок CQn – вне его.
Ответ
Не всегда.
Замечания
4 балла
