ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116685
Темы:    [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.


Решение

  Сначала выложим груши по возрастанию масс и докажем, что по-прежнему массы любых двух соседних груш отличаются не больше чем на 1 г. Пусть это не так: есть груша веса a, а следующий вес больше  a + 1.  Покрасим груши с весом не больше a в зелёный цвет, а груши с весом, большим
a + 1,  – в жёлтый. В исходной расстановке где-то груши разного цвета лежат рядом, значит, разность их весов не больше 1. Противоречие.
  В первый пакет положим первую грушу с последней, во второй – вторую с предпоследней и т. д. На каждом шаге добавляются два изменения весов разных знаков, что в сумме делает разность соседних пакетов по модулю не больше максимума разностей соответствующих пар соседних груш, то есть не более 1 г.

Замечания

1. Ср. с задачей 116693.

2. 4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .