ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116697
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для заданных значений a, b, c и d оказалось, что графики функций    и    имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций    и    также имеют ровно одну общую точку.


Решение 1

  Графики    и    центрально симметричны относительно точки     и, следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда    при  .  Это условие эквивалентно равенству  (a – c)(b – d) = 2.  Аналогично доказывается, что это равенство также эквивалентно тому условию, что центрально симметричные относительно точки     графики    и    имеют ровно одну общую точку.


Решение 2

  Уравнение     имеет ровно одно решение. Нетрудно видеть, что такого не может быть при  a = c  или  b = d.
  При  a ≠ c  и  b ≠ d  это уравнение эквивалентно квадратному уравнению  2(a – c)x² – 2(a – c)(b + d)x + 2(a – c)bd + (b – d) = 0  (ни b, ни d не могут являться его корнями при этих условиях). Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда равен нулю его дискриминант, то есть при
4(a – c)²(b + d)² – 8(a – c)(2(a – c)bd + (b – d)) = 0.
  Преобразуя и учитывая то, что  a – c ≠ 0  и  b – d ≠ 0 , получаем  (a – c)(b – d) = 2.  Аналогично доказывается, что последнее равенство эквивалентно тому, что уравнение     имеет ровно одно решение.


Решение 3

  Точка с координатами  (x, y)  является общей точкой графиков    и    тогда и только тогда, когда пара чисел  (x, y)  является решением системы

  Заметим, что пара чисел  (x0, y0)  является решением этой системы тогда и только тогда, когда пара чисел  (½ y0, 2x0)  является решением системы
  Последняя система, как следует из условия, имеет единственное решение. Значит, графики    и    имеют единственную общую точку.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .