Условие
Для заданных значений a, b, c и d
оказалось, что графики функций 
и 
имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций 
и 
также имеют ровно одну общую точку.
Решение 1
Графики и центрально симметричны относительно точки 
и, следовательно, имеют ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда 
при 
. Это условие эквивалентно равенству (a – c)(b – d) = 2. Аналогично доказывается, что это равенство также эквивалентно тому условию, что центрально симметричные относительно точки 
графики и имеют ровно одну общую точку.
Решение 2
Уравнение 
имеет ровно одно решение. Нетрудно видеть, что такого не может быть при a = c или b = d.
При a ≠ c и b ≠ d это уравнение эквивалентно квадратному уравнению 2(a – c)x² – 2(a – c)(b + d)x + 2(a – c)bd + (b – d) = 0 (ни b, ни d не могут являться его корнями при этих условиях). Оно имеет единственный корень тогда и только тогда, когда равен нулю его дискриминант, то есть при
4(a – c)²(b + d)² – 8(a – c)(2(a – c)bd + (b – d)) = 0.
Преобразуя и учитывая то, что a – c ≠ 0 и b – d ≠ 0 , получаем (a – c)(b – d) = 2. Аналогично доказывается, что последнее равенство эквивалентно тому, что уравнение 
имеет ровно одно решение.
Решение 3
Точка с координатами (x, y)
является общей точкой графиков и тогда и только тогда, когда пара чисел
(x, y) является решением системы
Заметим, что пара чисел (
x0,
y0) является решением этой системы тогда и только тогда, когда пара чисел (½
y0, 2
x0) является решением системы
Последняя система, как следует из условия, имеет единственное решение. Значит, графики
и
имеют единственную общую точку.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Номер |
75 |
|
Год |
2012 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
2 |
