ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116703
Темы:    [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Частные случаи тетраэдров (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?


Решение

  Так как каждый из пяти прожекторов испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке, то найдутся по крайней мере три прожектора, которые испускают луч под одним и тем же углом. Будем считать, что это угол α.
  Повернём эти три прожектора, расположенные в точках A, B и C, так, что испускаемые ими лучи пересекутся в одной точке D. Обозначим через H основание перпендикуляра, опущенного из точки D к плоскости ABC. Треугольники ADH, BDH и CDH равны. Следовательно, точка H является центром описанной окружности треугольника ABC и  DH = AH·tg α.  Таким образом, точка D определена однозначно.

  Добавим четвёртый прожектор. По условию все четыре прожектора можно повернуть так, чтобы их лучи пересекались в одной точке, а такой точкой может быть лишь точка D. Значит, четвёртый прожектор можно повернуть так, чтобы испускаемый им луч проходил через точку D. Но по тем же соображениям так можно повернуть и пятый прожектор.


Ответ

Обязательно.

Замечания

Утверждение о том, что все пять прожекторов можно так повернуть, чтобы испускаемые ими лучей пересеклись в одной точке, остаётся справедливым и в том случае, если опустить условие, что каждый из прожекторов испускает лазерный луч под одним из двух данных острых углов к площадке. Достаточно лишь потребовать, чтобы угол наклона каждого из лучей не менялся при повороте прожектора. Известное жюри доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .