|
|
 |
Условие
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2n слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на (1 – x), и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от x.
Решение
Индукция по n. База. При n = 1 на доске после действий учителя останутся написаны x и (1 – x). x – возрастающая функция, а x + (1 – x) – постоянная. Далее постоянную функцию тоже будем считать возрастающей.
Шаг индукции.Пусть учитель сложил первые k полученных выражений (1 ≤ k ≤ 2n).
Если k ≤ 2n–1, то первый множитель в каждом из этих k слагаемых равен x. Если вынести его за скобку, то в скобках останется многочлен, который учитель получил бы, складывая первые k многочленов, полученные из слов длины n – 1. По предположению индукции выражение в скобках представляет собой постоянную или возрастающую на отрезке [0, 1] функцию. После умножения на x также получится возрастающая на [0, 1] функция.
Если k = 2n, то учитель сложил все выражения на доске. Полученное выражение можно сгруппировать и записать в виде (x + (1 – x))n. Эта функция постоянна и равна единице.
Если 2n–1 < k < 2n, то обозначим полученную учителем функцию f(x) и рассмотрим сумму оставшихся выражений, им не использованных. Сделаем в каждом из них замену t = 1 – x. По доказанному выше
эта сумма представляет собой возрастающую на отрезке [0, 1] функцию от t (фактически мы теперь все слова читаем справа налево). Значит, она представляет собой убывающую на [0, 1] функцию от x. Но эта
функция равна 1 – f(x). Следовательно, функция
f(x) возрастает на [0, 1].
