|
|
 |
Условие
Пусть p – простое число. Набор из p + 2 натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.
Решение
Пусть S – сумма всех чисел интересного набора, c – наибольшее число, а и b – еще два каких-то числа из набора. Суммы S – a – c и S – b – c делятся на c, значит, и их разность b – a кратна c. Поскольку эта разность по модулю меньше c, она равна нулю. Итак, все числа набора, кроме наибольшего числа c, равны a.
S – a – a = (p – 1)a + c делится на a, следовательно, c = ka.
S – a – c = pa делится на c, что равносильно делимости p на k. Итак, k = 1 или k = p.
Ответ
Наборы видов (pm, m, ..., m) и (m, m, ..., m), где m – натуральное число.
Замечания
8 баллов
