Задача 116738

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что  BQ = BC.

Решение 1

Пусть прямые DP и BC пересекаются в точке М (рис. слева).

Прямоугольные треугольники DAP и MBP равны (по катету и острому углу). Следовательно,  МВ = AD = BC.  Таким образом, QB – медиана прямоугольного треугольника MQC, значит,  BQ = ½ МC = BC.

           

Решение 2

Пусть K – середина CD, L – середина CQ. Тогда BCKP – прямоугольник, а BKDP – параллелограмм (рис. справа). Диагонали прямоугольника BCKP пересекаются в их общей середине – точке O. Прямая BK содержит среднюю линию OK треугольника PCD, а значит, и среднюю линию OL треугольника PCQ. Таким образом, BL – медиана и высота (поскольку BK || PD) треугольника CBQ. Следовательно, он равнобедренный.

Замечания

Точка Q может лежать и вне данного прямоугольника, но на решение это не влияет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2011/12
класс
Класс	7
задача
Номер	7.3.2