ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116740
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Перебор случаев ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство:  a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c).   Следует ли из этого, что  а = b = c?


Решение

  0 = a²(b + c – a) – b²(c + a – b) = (a² – b²)c – (a² + b²)(a – b) = (a – b)(ac + bc – a² – b²)     (1).
  Аналогично  (b – c)(ba + ca – b² – c²) = 0     (2)
и  (c – a)(cb + ab – c² – a²) = 0     (3).
  Пусть  a = b.  Тогда из равенства (2) получим, что  с(a – c)² = 0,  откуда, учитывая, что  с ≠ 0,  следует, что и  с = a.
  Аналогично все числа равны, если  a = c  или  b = c.
  Пусть все числа различны. Тогда  a² + b² – ac – bc = b² + c² – ab – ac = c² + a² – bc – ab = 0.  Складывая, получим:
0 = 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = (a – b)² + (b – c)² + (a – c)² = 0.  Противоречие.


Ответ

Следует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2011/12
класс
Класс 7
задача
Номер 7.4.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .