Задача 116746

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки I_A, I_C – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника II_AI_C. Докажите, что  OI ⊥ AC.

Решение 1

  Центры вневписанных окружностей I_A, I_C лежат на биссектрисе внешнего угла при вершине B (рис. слева). Пусть  ∠A = 2α,  ∠B = 2β,  ∠C = 2γ.  Нетрудно проверить, что  ∠ABI_A = 90° + β,  ∠BIA_A = 90° – α – β.  Поэтому  ∠I_COI = 2∠I_CI_AI = 180° – 2α – 2β = 2γ.
  Из равнобедренного треугольника I_COI получаем, что  ∠OII_C = 90° – γ.  Поскольку ∠CIM = ∠OII_C,  то в треугольнике IMC (M – точка пересечения прямых OI и AC)  ∠ICM + ∠CIM = γ + 90° – γ = 90°,  что и требовалось доказать.

             

Решение 2

  Треугольник ABC, очевидно, является ортотреугольником треугольника I_AI_BI_C. Таким образом, задача сводится к следующему утверждению.
  Пусть AA₁ и CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, H – его ортоцентр, а O' – центр описанной окружности треугольника AHC. Тогда  O'H ⊥ A₁C₁.
  Докажем это. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Как известно:
     1)   OB ⊥ A₁C₁ (см. задачу 52815);
     2)  O и O' симметричны относительно прямой AC (см. задачу 55605));
     3) Расстояние от точки O до прямой AC в два раза меньше длины отрезка BH (см. задачу 53528)).
   Из утверждений 2) и 3) следует, что OO'HB – параллелограмм (рис. справа). Теперь требуемое следует из 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	10 (2012 год)
Дата	2012-04-8
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	4