ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116757
Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности.


Решение

   Пусть E – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на AD. Тогда четырёхугольник AHBE – прямоугольник. Значит,
HED = ∠ABC = 180° – ∠BCD,  то есть точки D, C, H, E лежат на некоторой окружности ω (см. рис.).

   Заметим, что M – точка пересечения диагоналей прямоугольника AHBE. Поскольку точки A, K, B, C лежат на одной окружности,
MK·MC = MA·MB = MH·ME.  Это равенство означает, что точки C, K, H и E лежат на одной окружности. Эта окружность совпадает с ω,
так как имеет с ней три общие точки. Итак, точки K, H, C, D лежат на ω.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
Задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .