ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116764
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, касается стороны BC в точке D. Пусть точка I – центр окружности ω, а O – центр описанной окружности треугольника ABC. Описанная окружность треугольника AID, пересекает вторично прямую AO в точке E. Докажите, что длина отрезка AE равна радиусу окружности ω.


Решение

   Пусть для определенности AB < AC, а луч DI пересекает отрезки AO и AC в точках P и Q соответственно (см. рис).


   Имеем:  ∠AIP = ∠DQC – ∠IAC = 90° – ∠ C – ½∠A  и  ∠IAP = ∠OAB –∠IAB = ½ (180° – ∠AOB) – ½∠A = 90° – ∠C – ½∠A.  Таким образом, треугольник API равнобедренный  (AP = PI),  то есть точка P лежит на серединном перпендикуляре l к AI, и лучи PA и PI симметричны относительно l. Описанная окружность треугольника AID также симметрична относительно l. Следовательно, отрезки AE и ID тоже симметричны, поэтому они равны.

Замечания

1. Из решения, в частности, следует, что точка E всегда лежит на продолжении отрезка OA за точку A.

2. Из доказанного следует, что степень точки O относительно описанной окружности ωa треугольника AID равна  R(R + r),  где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Степени точки O относительно окружностей ωb и ωc, построенных аналогично ωa, будут такими же. Это значит, что IO является общей радикальной осью трёх окружностей ωa, ωb и ωc, то есть эти окружности имеют две общие точки: одна – это точка I, а другая лежит на прямой IO. Используя формулу Эйлера (см. задачу 52464), нетрудно найти положение второй точки пересечения указанных окружностей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .