ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116771
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Изначально на столе лежат 111 кусков пластилина одинаковой массы. За одну операцию можно выбрать несколько групп (возможно, одну) по одинаковому количеству кусков и в каждой группе весь пластилин слепить в один кусок. За какое наименьшее количество операций можно получить ровно 11 кусков, каждые два из которых имеют различные массы?


Решение

  Пусть масса одного исходного куска равна 1. Если при первой операции в каждой группе k кусков, то после неё каждый кусок будет иметь массу 1 или k; значит, 11 кусков различной массы за одну операцию получить не удастся.
  Покажем, что за две операции требуемое сделать можно. Для первой операции выберем 37 групп по 2 куска; после операции получатся по 37 кусков с массами 1 и 2. Для второй операции выберем 9 групп по 8 кусков: в i-й группе  (1 ≤ i ≤ 9)  будет  i – 1  кусок массы 2 и  9 – i  кусков массы 1. Останутся неиспользованными два куска масс 1 и 2, а из i-й группы получится кусок массы  9 – i + 2(i – 1) = 7 + i.  Итак, получатся 11 кусков с массами 1, 2, 8, 9, ..., 16.


Ответ

За две операции.

Замечания

Можно показать, что приведённый способ – единственный возможный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .