Задача 116776

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Полянский А.

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть O_A, O_B и O_C – центры описанных окружностей треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника O_AO_BO_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Обозначим через I центр вписанной окружности треугольника ABC, а через A₀, B₀, C₀ – точки её касания со сторонами BC, CA, AB. Будем считать, что точка A₁ лежит на отрезке A₀B. Как и в задаче 116760 (способ 1) докажем, что четырёхугольники BC₁IA₁, AB₁IC₁ и CA₁IB₁ вписаны, и  IA₁ = IB₁ = IC₁.

  Линии центров O_BO_C, O_CO_A, O_AO_B являются серединными перпендикулярами к общим хордам IA₁, IB₁, IC₁ соответственно; длины этих хорд равны. Значит, расстояния от I до сторон треугольника O_AO_BO_C равны. Поскольку углы IBA₁ и ICA₁ острые, а точка A₁ лежит на отрезке BC, то линия центров O_BO_C пересекает общую хорду IA₁. Аналогично пересекаются отрезки O_AO_C и IB₁, O_AO_B и IC₁. Значит, I лежит внутри треугольника O_AO_BO_C, то есть является центром его вписанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2011-2012
Этап
Вариант	5
класс
Класс	11
Задача
Номер	11.6