|
|
 |
Условие
На клетки шахматной доски положили рисовые зёрнышки. Количества зёрнышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно
на 1. При этом на одной из клеток доски лежало три зёрнышка, а на другой – 17 зёрнышек. Петух склевал все зёрнышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зёрен досталось петуху и сколько курице?
Решение
Пусть, например, клетка A, в которой три зёрнышка, находится на k клеток левее и на n клеток ниже, чем клетка B, в которой 17 зернышек. Рассмотрим кратчайшие пути, ведущие из клетки A в клетку B. Каждый такой путь состоит из k шагов на соседнюю клетку вправо и n шагов на соседнюю клетку вверх, сделанных в произвольном порядке, то есть в любом случае такой путь состоит из k + n шагов. На каждом шаге количество зёрен меняется ровно на 1, а за весь путь количество зёрен изменяется на 17 – 3 = 14. Но, исходя из размеров шахматной доски, количество возможных шагов как вверх, так и вправо не может быть больше 7, то есть кратчайший путь не может содержать больше 14 шагов. Следовательно, должно быть ровно 7 шагов вправо и ровно 7 шагов вверх, причём на каждом шаге количество зёрен должно увеличиваться. Значит, если клетка A ниже и левее, чем клетка B, то они обе лежат на главной диагонали, ведущей вправо-вверх (A – в левом нижнем углу, а B – в правом верхнем). В этом случае количество зёрен в каждой клетке восстанавливается однозначно (см. рис.).
Другие возможные случаи расположения данных клеток отличаются от рассмотренного только симметрией (осевой или центральной).
Ответ
По 80 зёрен.
