Задача 116793

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 5,6

Условие

Коля утверждает, что можно выяснить, делится ли на 101 сумма всех четырёхзначных чисел, в записи которых нет ни цифры 0, ни цифры 9, не вычисляя самой суммы. Прав ли Коля?

Решение

Парным к числу, составленному из цифр a, b, c, d, назовём число, составленное из цифр  9 – a,  9 – b,  9 – c,  9 – d,  поставленных в том же порядке. Так все четырёхзначные числа, удовлетворяющие указанным условиям, разбиваются на пары, сумма чисел в которых равна 9999. Значит, сумма всех таких чисел будет кратна  9999 = 99·101.

Ответ

Прав.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2010
класс
Класс	7
Задача
Номер	7.5