ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116804
Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что  ∠CED > 45°.


Решение 1

Из точки D опустим перпендикуляры DM, DN и DK на прямые АС, АВ и ВE соответственно (см. рис.).

Так как AD – биссектриса, то  DM = DN > DK  (все перпендикуляры лежат внутри треугольника АВС, поскольку он остроугольный). Так как DMEK – прямоугольник, то  ∠CED > 45°.


Решение 2

Проведём биссектрису прямого угла ВЕС (см. рис.). Пусть она пересечёт луч AD в точке О. Достаточно показать, что  ∠CED > ∠СЕО,  то есть что точка О лежит вне треугольника АВС.

Заметим, что О – центр вневписанной окружности треугольника АВЕ, так как является пересечением его внутренней и внешней биссектрис. Значит, ВО – также биссектриса внешнего угла этого треугольника. Тогда  ∠АВО = ∠АВЕ + ∠EВO = 90° – ∠А + ½ (90° + ∠А) = 135° – ½ ∠А > 90° > ∠B,  так как углы А и В – острые. Следовательно, точка О действительно лежит вне треугольника АВС.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.6
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .