ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116820
Темы:    [ Параллелограммы (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.


Решение 1

Пусть CH – указанная высота, N – её точка пересечения с прямой KL, O – центр окружности. Ясно, что KM – диаметр окружности, а CHKM – прямоугольник. Высота CH равна диаметру, поэтому достаточно доказать, что  СN = OK.  Поскольку CO – биссектриса угла C равнобедренного треугольника LCM, то  COLM.  Но и прямая LK перпендикулярна LM, следовательно, CNKO – параллелограмм.


Решение 2

Пусть прямая KL пересекает прямую CD в точке P, а высоту CH – в точке N. Треугольник LCP, очевидно, подобен равнобедренному треугольнику LBK. Следовательно,  CP = CL = CM.  Значит, CN – средняя линия треугольника MPK. Поэтому  CN = ½ MK = ½ CH.

Замечания

Баллы: Турнир городов – 5, Регата – 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2017/18
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .