ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116834
Темы:    [ Периодичность и непериодичность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана бесконечная последовательность чисел  a1, a2, a3, ...  Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что
ak = ak+t = ak+2t = ...  Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что  ak = ak+T  при любом натуральном k?


Решение

Пусть an равно наибольшей степени 2, на которую делится n  (a1 = 1,  a2 = 2,  a3 = 1,  a4 = 4,  a5 = 1,  a6 = 2,  a7 = 1,  a8 = 8).  Эта последовательность, очевидно, не периодична (в ней бесконечно много разных членов), однако для каждого k можно взять  t = 2k.  Действительно, числа k, 3k, 5k, 7k, ...  делятся на одну и ту же степень двойки.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .