Задача 116880

Темы:    [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

Последовательность a_n задана условием:  a_n+1 = a_n – a_n–1.  Найдите a₁₀₀, если  a₁ = 3,  a₂ = 7.

Решение

Заметим, что  a_n+3 = a_n+2 – a_n+1 = – a_n.  Значит,  a_n+6 = a_n,  то есть члены последовательности повторяются с периодом 6. Так как 100 при делении на 6 даёт остаток 4, то  a₁₀₀ = a₄ = – a₁.

Ответ

–3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1.1