ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116884
Темы:    [ Биссектриса угла ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.


Решение

Заметим, что  ∠MAN = 90°,  так как этот угол образован биссектрисами смежных углов (см. рисунок). Обозначим величины углов A и C данного треугольника через α и γ соответственно. Тогда  ∠KAB = ∠ACB = γ  (угол между касательной и хордой),   ∠KNA = α/2 + γ  (внешний угол треугольника ACN). Значит, в треугольнике AKN  ∠KAN = α/2 + γ = ∠KNA,  следовательно,  KA = KN.  Таким образом, AK – медиана прямоугольного треугольника MАN, проведённая к гипотенузе, то есть K – середина MN.

Замечания

Из доказанного утверждения автоматически следует, что точка K является центром окружности Аполлония треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4352
олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
Класс 11
задача
Номер 11.2.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .