Задача 116904

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Швецов Д.В., Заславский А.А.

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Проведём через A₁, B₁ и C₁ прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то  P = C₁).  Тогда, поскольку  AB || C₁P  и  AA₁ || CC₁,  (направленные) дуги BP, C₁A и A₁C равны. Это и означает, что  A₁P || BC,  то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).

  Точки C₁ и P симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, а точки C₁ и C₂ симметричны относительно AB; это значит, что P и C₂ симметричны относительно середины C₀ отрезка AB; аналогично, A₂ и B₂ симметричны точке P относительно середин A₀ и B₀ соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом,   ;   аналогично     и   .   Следовательно, треугольники ABC и A₂B₂C₂ центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2