ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116915
Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.


Решение

   Пусть X и Y – середины дуги α и дуги AB окружности Ω соответственно, а O – центр Ω. Тогда луночка с вершинами A и B находится между концентрическими окружностями с центром O и радиусами OY и OX (см. рис.). Значит, диаметр окружности, вписанной в луночку, не превосходит XY; с другой стороны, окружность с диаметром XY касается Ω и α и лежит в луночке. Итак, максимальный диаметр окружности, вписанной в эту луночку, равен XY.

  Поскольку  ACBD,  сумма дуг AB и CD окружности Ω равна 180°. Пусть K и L – середины отрезков AB и CD соответственно; тогда
AOK = 90° – ∠COL = ∠OCL,  поэтому прямоугольные треугольники AOK и OCL равны по гипотенузе и острому углу. Значит,
OX = OK + KX = OK + KA = ½ (AB + CD),  поэтому  XY = ½ (AB + CD) – r,  где r – радиус Ω.
  Аналогично максимальный диаметр окружности, вписанной в луночку с вершинами C и D также равен  ½ (AB + CD) – r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .