ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116952
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  rx = rz = r,  а  ry > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.


Решение

  Обозначим вершины образовавшегося треугольника через A, B, C, как показано на рисунке, а центры окружностей ωx, ωy и ωz через Ix, Iy и Iz.

  Первый способ. Пусть q'  – вторая общая внутренняя касательная к ωy и ωz, а t'  – вторая их общая внешняя касательная. Обозначим через A'  и B'  точки пересечения прямой t'  с q и t, а через M и N – точки пересечения прямой q'  с t и t'.

  Прямая p при симметрии относительно прямой IyY переходит в q'  (если бы она перешла в q, то треугольник ABC был бы равнобедренным). С другой стороны, прямые q и q', а также t и t'  симметричны относительно линии центров IyIz. Значит,  ∠B'A'C = ∠NMB' = ∠BAC.  Кроме того, углы ACB и A'CB' равны как вертикальные. Итак, треугольники ABC и A'B'C подобны по двум углам.
  ωy – их общая вневписанная окружность, касающаяся соответственных сторон AC и A'C; значит, коэффициент их подобия равен 1. Поэтому радиусы их вписанных окружностей также равны.

  Второй способ. Пусть ω0 – вписанная окружность треугольника ABC и её радиус  r0 = r/k.  Обозначим через T точку касания ω0 с прямой t.

  Обозначим  x = AT,  z = CT = AC – x.  Как известно,  AY = CT = z  (см. задачу 56658). Заметим, что  x ≠ z  (иначе треугольник ABC равнобедренный).
  Пусть I – центр ω0. Треугольники ITA и IxXA подобны, поэтому  .  Аналогично  ZC = kz.
  XA + AY = XY = ZY = ZC + CY;  значит,  kx + z = kz + x,  откуда  (kx – x) – (kz – z) = 0,  или  (k – 1)(x – z) = 0.  Следовательно,  k = 1,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .