ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116988
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что  Р(1) = 2013,  Р(2013) = 1,  P(k) = k,  где k – некоторое целое число. Найдите k.


Решение

По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562)  k – 2013 = P(k) – P(1)  делится на  k – 1,  а  k – 1 = P(k) – P(2013)  делится на  k – 2013.  Следовательно,  |k – 2013| = |k – 1|.  Решением полученного уравнения является середина отрезка  [1, 2013],  то есть
k = ½ (1 + 2013) = 1007.


Ответ

1007.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.2.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .