ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116995
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Признаки подобия ]
[ Точка Торричелли ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.


Решение

  Из условия следует, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120°  (см. рисунок).

  Из треугольника АВD:  ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°,  значит,  ∠DAB = ∠DBС.  Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому
AD : BD = BD : CD,  то есть  AD·CD = BD² = a².  Значит,  SADC = AD·CD·sin 120°  – величина постоянная.
  Таким образом, площадь треугольника АВС будет наименьшей, если будет наименьшей сумма площадей треугольников ADB и BDC. Но
SADB + SBDC = ½ a(AD + CD) sin 120°,  а сумма  AD + CD  минимальна, когда треугольник ADC равнобедренный (см. задачу 32883 б).
  В этом случае, очевидно, треугольник АВС равносторонний и  


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .