ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30263
Темы:    [ Многочлены (прочее) ]
[ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Жуков Г.

Найдите все n, при которых для любых двух многочленов P(x) и Q(x) степени n найдутся такие одночлены axk и bxl
(0 ≤ k ≤ n,  0 ≤ l ≤ n),  что графики многочленов  P(x) + axk  и  Q(x) + bxl  не будут иметь общих точек.


Решение

  Графики многочленов  P(x) + axk и Q(x) + bxl  не имеют общих точек тогда и только тогда, когда многочлен  P(x) + axk – Q(x) – bxl  не имеет корней. Иными словами, надо у многочлена  R(x) = P(x) – Q(x)  так изменить не больше двух коэффициентов, чтобы у получившегося многочлена не было корней.
  Из любого многочлена R степени 0 или 1 можно сделать многочлен, тождественно равный 1.
  Пусть  n > 1.  Если n нечётно, то нам "случайно" может достаться многочлен  R(x) = xn + x.  Тогда, с одной стороны, надо "убить" xn, так как многочлен нечётной степени всегда имеет корень, а с другой – добавить ненулевую константу a, чтобы не было нулевого корня. Но полученный многочлен  x + a  имеет корень.
  Если n чётно, то, добавив, если надо, одночлен степени n, превратим R в многочлен чётной степени с положительным старшим коэффициентом. Такой многочлен имеет наименьшее значение M. Добавив константу  1 – M,  получим положительный многочлен.


Ответ

n = 1  и все неотрицательные чётные n.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .