Задача 30624

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Деление с остатком. Арифметика остатков ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что произведение последней цифры числа 2ⁿ и суммы всех цифр этого числа, кроме последней, делится на 3.

Решение

  Пусть a – последняя цифра числа 2ⁿ. Надо доказать, что a(2ⁿ – a) кратно 3. Разберём два случая.
  1) n нечётно. Тогда  2ⁿ ≡ 2 (mod 3),  a = 2  или 8. В любом случае  2ⁿ – a  кратно 3.
  2) n чётно. Тогда  2ⁿ ≡ 1 (mod 3),  a = 4  или 6. В первом случае  2ⁿ – a  кратно 3, во втором а кратно 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	038