ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30665
Темы:    [ Уравнения в целых числах ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решить в целых числах уравнение  1/a + 1/b + 1/c = 1.


Решение

  Если  a = 1,  то  c = – b.
  Пусть ни одно из чисел не равно 1. Тогда каждое из слагаемых не больше ½. Отсюда сразу следует, что ни одно из чисел не может быть отрицательным. Поэтому можно считать, что  1 < a ≤ b ≤ c  (остальные решения получатся перестановкой).
  Если  a > 3,  то  1/a + 1/b + 1/c < 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1.
  Поэтому возможны только два случая:
  1)  a = 3  (и тогда, очевидно,  b = c = 3);
  2)  a = 2.  В этом случае  1/b + 1/c = ½.  При этом  b ≤ 4.
  Поэтому либо  b = 4  (и тогда  c = 4),  либо  b = 3  (и тогда  c = 6).


Ответ

(3, 3, 3),  {2, 3, 6},  {2, 4, 4},  {1, t, – t},  где t – любое целое число.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 10
Название Делимость-2
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 079

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .