ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30926
Темы:    [ Системы алгебраических неравенств ]
[ Средние величины ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
  1)  a + b < c + d;
  2)  (a + b)cd < ab(c + d);
  3)  (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.


Решение

  Можно считать, что  a ≤ b  и  c ≤ d.  Первое неравенство означает, что среднее арифметическое чисел a и b меньше среднего арифметического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что  a < d.  Второе неравенство означает, что среднее гармоническое чисел a и b больше среднего гармонического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что  c < b.
  Третье неравенство можно записать в виде  (a – d)(b – c) > bc + ad > 0,  откуда следует, что числа  d – a  и  b – c  – разных знаков. Но это противоречит ранее полученным неравенствам.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 16
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер 083

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .