Задача 31298

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Доказать, что  3²ⁿ – 1   a) делится на 2ⁿ⁺²;   б) не делится на 2ⁿ⁺³.

Решение

3²ⁿ – 1 = (3 – 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)...(3^2n–1 + 1).  Поскольку  3^2k = 9^k ≡ 1^k (mod 4),  то каждый множитель, начиная с третьего делится на 2, но не делится на 4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	12
Название	Уравнения в целых числах
Тема	Уравнения в целых числах
задача
Номер	26