Условие
В каждый узел бесконечной клетчатой бумаги воткнута
вертикальная булавка. Иголка длины
l лежит на бумаге параллельно
линиям сетки. При каких
l иголку можно повернуть на 90°,
не выводя из плоскости бумаги? Иголку разрешается как угодно
двигать по плоскости, но так, чтобы она проходила между булавками;
толщиной булавок и иголки пренебречь.
Решение
Соединим отрезками всевозможные пары узлов клетчатой
бумаги, расстояние между которыми не превосходит
l. Будем
считать, что один из концов O иголки не лежит ни на одном из
нарисованных отрезков (в противном случае этого можно добиться
небольшим шевелением иголки). Начнем поворачивать иголку вокруг
этого конца. Если в процессе этого движения она упрется в
булавку, то станем двигать иголку вдоль себя до тех пор, пока она
не перестанет соприкасаться с булавкой (при таком движении мы
можем быть уверены, что не упремся ни в какую другую булавку, в
силу выбора начального положения конца иголки). Затем будем
двигать иголку вдоль себя в обратном направлении (но оставляя
булавку на сей раз с другой стороны от иголки) до тех пор, пока
ее конец O не вернется в исходное положение. Продолжая
действовать таким образом, мы сможем повернуть иголку на любой
угол.
Замечания
Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова.
Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".
Источники и прецеденты использования
