ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32048
Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?


Решение

Обозначим дома буквами A, B, C, D в порядке их следования по окружности. Предположим, колодец вырыт в точке O. Из неравенства треугольника следует, что  OA + OC ≥ AC,  причём равенство достигается только тогда, когда точка O принадлежит отрезку AC. Аналогично  OB + OD ≥ BD,  причём равенство имеет место только тогда, когда O лежит на отрезке BD. Складывая, получим  OA + OB + OC + OD ≥ AC + BD.  Равенство выполняется только тогда, когда O – точка пересечения отрезков AC и BD.


Ответ

В точке пересечения диагоналей четырёхугольника, вершинами которого являются дома.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко. "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 08
Дата 1985
задача
Номер 08

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .