ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32067
Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?


Решение

Рассмотрим 10 отрезков с длинами 1, 2, 4, …, 512 (каждый следующий вдвое длиннее предыдущего). Тогда пусть a, b и c — длины любых трех из данных отрезков, причем a < b < c. Тогда можно утверждать, что b ≤ ½c,, a < ½c,. Сложив последние два неравенства, получаем b + a < c. Согласно неравенству треугольника, из отрезков с длинами a, b и c нельзя составить треугольник.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 09
Дата 1986
задача
Номер 09

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .