Задача 32802

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.

Решение

Пусть  ∠A = 2α.  Достроим треугольник ABC до ромба ABCF.  BF = 2BD = AE,  следовательно, трапеция ABEF – равнобедренная. Значит,
∠AFE = ∠BAF = 4α,  а  ∠BFE = ∠BAE = α.  Поэтому  ∠ABF = ∠AFB = 3α.  Из прямоугольного треугольника ABD получаем  2α + 3α = 90°,  откуда  α = 18°.

Ответ

36°, 36° и 108°.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Название	Часы с кукушкой
Тема	Неопределено
Номер	4
задача
Номер	7
Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Год	2001/02
Место проведения	57 школа
занятие
Номер	5
Название	Часы с кукушкой
Тема	Неопределено
задача
Номер	07