Условие
Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?
Решение
Посмотрим, куда путник сможет дойти за час, выйдя из точки M (Морозки). Если он пойдёт по полю, то через час окажется в пределах круга радиуса 3 (км) с центром M. Если он пойдёт по дороге, то окажется в какой-то точке отрезка KL длины 8 с серединой в M (мы считаем, что дорога горизонтальна). Докажем, что за час он не сможет выйти за пределы фигуры F, ограниченной указанной окружностью и касательными, проведёнными к ней из точек K и L (рис. слева). Действительно, если он дойдёт по дороге до точки P, затратив время 1 – t, а потом свернёт в поле, то через час окажется в пределах круга радиуса 3t с центром в точке P. Так как PK = 4t, то в силу подобия этот круг касается границы фигуры F. Это значит, что он будет находиться внутри (или на границе) F. С другой стороны, ясно, что за час можно попасть в любую точку границы F, подобрав подходящую точку поворота P.
Если путник будет идти не час, а другое время T, то он может оказаться на границе фигуры, гомотетичной F с центром M и коэффициентом T. Таким образом, следует найти минимальную такую фигуру, на границе которой находится точка B (водокачка).
Это делается следующим образом. Будем считать, что
B находится правее и выше точки
M. Построим прямоугольный треугольник
ABC с прямым углом
B, вершинами
A и
C на дороге и отношением
AB :
AC = 3 : 4 (
A левее
C). Если
M находится левее
A, то путнику надо идти по дороге до точки
A, а потом по отрезку
AB. Если же
M находится на отрезке
AC, то надо сразу идти по отрезку
MB.
Источники и прецеденты использования
