ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34863
Тема:    [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 2+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычеркивает 9 чисел (по своему выбору) из последовательности 1,2,...,100,101. После одиннадцати таких вычеркиваний останутся 2 числа. Первому игроку присуждается столько очков, какова разница между этими оставшимися числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55 очков, как бы ни играл второй.

Подсказка

Первым ходом нужно вычеркнуть числа из середины.

Решение

Первым ходом нужно вычеркнуть 9 чисел от 47 до 55. Остальные числа разбиваются на пары: 1 - 56, 2 - 57,..., 46 - 101. После каждого хода второго игрока, первый может вычеркнуть числа таким образом, чтобы в каждой паре было вычеркнуто либо оба числа, либо ни одного. Таким образом, в конце останется пара чисел, разность которых равна 55.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .