Условие
Красный квадрат покрывают 100 белых квадратов.
При этом все квадраты
одинаковы и стороны каждого белого квадрата
параллельны сторонам
красного. Всегда ли можно удалить один из белых квадратов так,
что
оставшиеся белые квадраты все еще будут покрывать
целиком красный
квадрат?
Подсказка
Попробуйте использовать "лесенку" из квадратов, в которой
угол каждого квадрата не покрыт другими квадратами.
Решение
Обозначим вершины красного квадрата буквами
A,B,C и D. Диагональ AC разобьем на 100 равных отрезков, концы
которых последовательно обозначим числами 1,2,...,101 (точка A
обозначена числом 1, а точка C - числом 101). Заметим, что для
каждой пары точек k и k+1 (k=1,2,...,100), существуют ровно
два квадрата данного размера, стороны которых параллельны
сторонам
красного квадрата и проходят через точки k и k+1, причем один из
этих квадратов содержит вершину B и не содержит D, а другой
квадрат, наоборот, содержит D и не содержит B. Если k нечетно,
то возьмем тот квадрат, который содержит вершину B, а если k
четно, возьмем квадрат, содержащий вершину D. Выбранные таким
образом 100 белых квадратов покрывают целиком красный квадрат, но
если
удалить квадрат, стороны которого проходят через точки k и k+1, то
отрезок диагонали AC с концами k и k+1 покрыт не будет.
Ответ
не всегда.
Источники и прецеденты использования
